Thursday, March 30, 2006

EQUAÇÃO DO 2° GRAU

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

DEFINIÇÃO

Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma:

ax² + bx + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado

x é a incógnita

a,b, e c números reais, chamados de coeficientes


Equação Completa do segundo grau



Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5

2) 3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2

3)  x² -7 x + 10 = 0, onde a = 1, b = -7 e c = 10

4) 5x² - x -3 = 0, onde a = 5, b = -1 e c = -3



Resolução de equações completas do 2° grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax² + bx + c= 0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

Δ = b²- 4ac é o discriminante da equação.
Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:

1) Δ > 0 , a equação te duas raízes reais e diferentes.

2)  Δ = 0, a equação tem uma raiz

3)  Δ < 0 , a equação não tem raízes reais

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1) Identificar os coeficientes: a = 1, b = -5, c = 6

2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.

3) Calcular Δ = (-5)² -4×1×6 = 25-24 = 1

4) Escrever a fórmula de Bhaskara:













EXEMPLOS






























































EXERCÍCIOS

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)
c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio)
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)
e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)
e) 5x² - 3x - 2 = 0 (R: 1 e -2/5)
f) x² - 10x + 25 = 0 (R: 5)
g) x² - x - 20 = 0 (R: 5 e -4)
h) x² - 3x -4 = 0 (R: 4 e -1)
i) x² - 8x + 7 = 0 (R: 7 e 1)



RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU


1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3)
2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4)
4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,)
6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4)
8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)
9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2)
10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2)
12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4)
14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio)
16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5)
18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)
19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3)
20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3)
22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8)
24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4)
26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio)
28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5)
30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4)
32) ( x - 5)² = 1_______(R:6,4)
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2)
34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)

35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1
b)-1 e 1
c)-2 e 2 (x)
d)-3 e 3
e)0 e 4

36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4)
37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio)
38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)




PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU



1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56?   (R:-8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40?    ( R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número.
(R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 28. (R:7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número?
(R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)



RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS



Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau


1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)

Exemplos:

1) x² - 25 = 0
    x² = 25
    x = √25
    x = 5
logo V= (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0
    2x² = 18
     x² = 18/2
     x² = 9
     x = √9
     x = 3
logo V= (-3 e +3)

3) 7x² - 14 = 0
    7x² = 14
      x² = 14/7
      x² = 2
      x = √2
logo V = (-√2 e +√2)

4) x²+ 25 = 0
    x² = -25
    x = √-25

obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7)
b) x² = 1 (R: +1 e -1)
c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5)
d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1)
e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3)
f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)
g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio)
h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )
i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7)
j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3)
k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2)
l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3)
m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3)
n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)
p) 4x²= 36 (R: 3, -3)   
q) 4x² - 49 = 0 ( R: 7/2, -7/2) 
r) 16 = 9x² (R: 4/3 , -4/3)
s) 3x² + 30 = 0 (R: vazio)
t) 9x² - 5 = 0 (R: √5/3 , -√5/3)



2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos

1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5

logo V= (0 e 5)

2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3

logo V= (0 e 10/3)

Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.


EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.

a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7)
b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)
c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4)
d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)
e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3)
f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)
g) x² + x = 0 (R: 0 e -1)
h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)
i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2)
j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)
k) 7x² = -14x (R: 0 e -2)
l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)

2) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3)
b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5)
d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)
e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5)
f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)



EQUAÇÃO FRACIONÁRIA DO 2º GRAU



Nessas equações (há incónita no denominador), devemos garantir que nenhum dos denominadores se anule

exemplos:



















vejamos através de exemplos, como se resolvem as equações fracionárias.

exemplo 1





exemplo 2







EXERCÍCIOS


1) Resolva as equações do 2º grau em R







EQUAÇÕES LITERAIS


Nessas equações, além da incógnita x , aparecem outras letras (a,b,c,m,n ....), que são chamadas de parâmetros, vamos resolver a equação:







EXERCÍCIOS



45 Comments:

At 4:55 PM, Blogger isabela said...

Ótimo esse site só que tinha que ter o desenvolvimento !

 
At 9:52 AM, Blogger thais said...

bom , eu tó com trabalho de matematica para fazer só que eu não sei e nesse saite tem tudo o que eu presciso só que só tem as resposta ai fica complicado porque se eu pegar só a resposta a professora não vaii quere o trabalho por favor alguém me ajuda ?

 
At 9:57 AM, Blogger thais said...

bom , eu tó com trabalho de matematica para fazer só que eu não sei e nesse saite tem tudo o que eu presciso só que só tem as resposta ai fica complicado porque se eu pegar só a resposta a professora não vaii quere o trabalho por favor alguém me ajuda ?

 
At 12:57 PM, Blogger Gabriella said...

achei legall este site ele tras muitas informacoes para oss alunos q nao sabem ...eu nao preciso disso pois sou a segunda maisss inteligente da minha sala entao fiz as contas e cheguei ao resultado certo sem nenhuma dificuldade olha q estou no 7ano da 6serie e tenho 12 anosss

 
At 8:12 PM, Blogger Marcelo PC said...

QUAL E O NUMERO CUJO O DOBRO E IGUAL AOS SEUS 3/4 AUMENTADOS DE 15?

 
At 10:27 AM, Blogger larissa said...

om me mostra a resoluçao
da equaçao do 2 grau completa

 
At 10:30 AM, Blogger lucas said...

vlw mesmo pessoal eu tirei 2 no teste e agora vou tirar um 10 o site e otimo ta tudo bem explicado e ensima mesmo muito obrigado mesmo

 
At 4:49 PM, Blogger Andrey Salgado =] said...

interessante o site!

 
At 7:40 AM, Blogger clarinha said...

Eu adorei o site tenho prova hoje e tirei ass minhas duvidas ainda bem!!! muito bom msm

 
At 7:42 AM, Blogger clarinha said...

eu gostaria que tivessem pelo menos umas 5 contas resolvidas para exemplificar melhor !! mas ta tudo blz o site!! :P

 
At 1:54 PM, Blogger Robô Admin said...

Vc poderia explicar como fazer cada questao, que ficaria perfect!

Ja ta nos meus favr.

 
At 12:10 PM, Blogger Lúuh Feitosa said...

Adoorei o site, tenho muita dificuldade em matemática e tirei nota baixa, peguei os exercícios para resolver e depois vou ler as explicações. Concerteza, vaai me ajudar ! Já tá nos meus favoritos.

 
At 6:27 PM, Blogger Joyce said...

Thais e mais alguém que quizer trabalho de matemática com resolução me adiciona no msn: and.joy@hotmail.com aah e adorei o site, me ajudo bastante pra estudar

 
At 3:12 PM, Blogger Fernando said...

Nossa que legal, esse site muito explicativo, gostei de verdadee me ajudou bastante em algumas atividades.Eu até peguei alguns problemas de equação do 2 graupara resolver. Me ajudou bastante. Parabéns pelo seu site. Visita o meu blog é http//fernandogesto.blogspot.com

 
At 11:48 AM, Blogger ursinho said...

olha achei maravilhoso, mas não consigo aprender,minha cabeça doi de tanto tentar já estou pensado em desistir pois não entra nada na minha cabeça muito obrigada.

 
At 11:42 AM, Blogger lorrayne said...

eu gostei mto da explicação, dos exercícios e tal ,mas acho que tinha que ter o desenvolvimento . Pra mim só faltou isso .

 
At 1:34 PM, Blogger ANA CRISTINA said...

como efetua esta conta9(21 x):(3 x)?,para 3x

 
At 10:30 AM, Blogger _-Pah's-_ said...

Ótimo post ta me ajudando bastante ;)

 
At 10:23 AM, Blogger Dani_q said...

Poxa. Tudo muito completo. Valeu aí.

 
At 9:10 AM, Blogger Car Shop said...

muito bom !!!
vlw aí.

 
At 12:37 PM, Blogger Felipe Fragoso said...

É eu estava fazendo um programa para executar Equações do Segundo Grau e peguei algumas das equações que você deu como exercícios, e uma delas a resposta está errada:
É a Equação 9 x² - 24 x + 16 = 0
de uma olhada, e caso queria a resposta me comunique haha
gatun_10@hotmail.com

 
At 6:43 AM, Blogger angelo said...

eu gostei deste site mas tem um pequeno probleminha que falta mais exemplos de como se resolve as tais equaçoes.

 
At 5:14 PM, Blogger garotadafiel20 said...

nossa cara,eu até que gostei,mas não tem as equações que eu quero!!!

 
At 3:16 AM, Blogger sweetboy said...

como faço ? 49 x ² +9 = 0

 
At 11:29 AM, Blogger nthalia said...

so falta a resposta
nathalia

 
At 11:11 AM, Blogger victor said...

olá povão

 
At 10:29 AM, Blogger thata said...

Thais
obriga pela ajuda!!!
parabens pelo site

 
At 1:10 PM, Blogger Larissa said...

bom esse site , podia ter videos de prof , ou alunos msmo , mostrando o desennvolvimento das contas !

 
At 4:26 PM, Blogger robson said...

add msn nay.carcheno@hotmail.com ensino qualquer coisa sobre matematica!

 
At 4:26 PM, Blogger robson said...

sou fera em matematica me add em nay.carcheno@hotmail.com

 
At 5:37 PM, Blogger mayara said...

quanto que dá a soma de um número positivo com o seu quadrado é igual a 132

 
At 5:05 PM, Blogger menen said...

x = 11

 
At 5:41 AM, Blogger adriele.2010 said...

ADOREIIIIIIIII ESSE BLOGGER
TUDO QUE EU QERIA EU ACHEI É MUITO BOM MESMO ESPLICA TUDINHO , QERO QUE TENHA MAIS E MAIS DESENVOLVIMENTO E EU SEMPRE ESTEREI PASSANDO PORAQUE

 
At 5:42 AM, Blogger adriele.2010 said...

ADOREII ESSE BLOGGER ESPERO QUE TENHA MAIS COISAS PORAQI ADOREI

 
At 7:04 AM, Blogger Letícia Santtos said...

Nossa , assim como eu olhei o You tube aquiii também é ótimo .
Parabéns

 
At 10:22 AM, Blogger ruc-10 said...

Ok pessoal como posso resolver este problema: numa cidade a população no ano 2000 era de 1784000, no ano de 2007 a população passou a ser de 1939000, no ano 2010 tivemos uma população de 2068000. A pergunta é Qual será a população desta mesma cidade no ano 2020. como armar e desenvolver este proplema.
ruc-10@hotmail.com

 
At 10:10 AM, Blogger Splash said...

Kra a questao 29 a Resposta é -5 e 4 isso do exercicio de equaçao do 2 grau lá em cima abraço!

 
At 4:47 PM, Blogger nathy said...

This comment has been removed by the author.

 
At 4:49 PM, Blogger nathy said...

Boa noite,
Eu estava fazendo o exercicio B, porém o meu resultado não esta igual, meu delta deu 0, e minha solução deu 3, ACHO que esta errado !! Obrigado pela atenção !

 
At 7:56 AM, Blogger Aborrecido said...

Muito bom!

Agora eu deixo uma sugestão: este site resolve equações do segundo grau e ainda exibe seu gráfico!

http://calculadoraonline.com.br/equacao-2-grau

 
At 7:57 AM, Blogger Aborrecido said...

Muito bom, mas eu deixo uma sugestão de calculadora que resolve equações e ainda mostra gráfico delas:

http://calculadoraonline.com.br/equacao-2-grau

 
At 4:42 PM, Blogger as pattys girls said...

eu fiz uma atividade que tinha uma conta que era assim: x²=x+12=0 , e eu nao consegui fazer e acho que vou ficar sem fazer , ajuda?

 
At 4:43 PM, Blogger as pattys girls said...

eu fiz uma atividade que tinha uma conta que era assim: x²=x+12=0 , e eu nao consegui fazer e acho que vou ficar sem fazer , ajuda?

 
At 11:04 AM, Blogger Vanessa Oliveira said...

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)
passa ?

 
At 2:19 PM, Blogger Christian B. said...

Muito obrigado, ajudou muito os seus exercícios(principalmente por ter as respostas)!!!
Valeu...

 

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